Question

如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c与直线y=kx+4相交于A（1，5），B（4，8）两点，与x轴交于原点O及C点．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使得S_△OCD=

1

2

S_△OCB？若存在，请求出点D，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,待定系数法求一次函数解析式,二次函数图象上点的坐标特征

专题：计算题

分析：（1）设直线解析式为y=mx+n，把A与B坐标代入求出m与n的值，确定出直线解析式；把A与B，原点O坐标代入抛物线解析式求出a，b，c的值，即可确定出抛物线解析式；
（2）求出三角形OCB的面积，设D的纵坐标为y，表示出三角形OCD面积，根据两三角形面积关系求出y的值，确定出D坐标即可．

解答：解：（1）设直线AB解析式为y=mx+n，
把A（1，5），B（4，8）代入得：

m+n=5 4m+n=8

，
解得：m=1，n=4，
∴直线解析式为y=x+4；
把A（1，5），B（4，8）以及O（0，0）代入抛物线解析式得：

a+b+c=5 16a+4b+c=8 c=0

，
解得：a=-1，b=6，c=0，
则抛物线解析式为y=-x²+6x；
（2）过B作BM⊥x轴，交x轴于点M，设D纵坐标为y，
令抛物线解析式y=0，得到x=0或x=6，即C（6，0），O（0，0），
∴S_△BOC=

1

2

OC•BM=24；
∵S_△OCD=

1

2

S_△OCB=12，
∴

1

2

OC•|DN|=12，即|DN|=4，
解得：DN=4或-4，即y=4或-4，
当y=4时，4=-x²+6x，
解得：x=3±

5

，此时D（3+

5

，4）或（3-

5

，4）；
当y=-4时，-4=-x²+6x，
解得：x=3±

13

，此时D（3+

13

，-4）或（3+

13

，-4）．

点评：此题考查了待定系数法求抛物线解析式，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数图象上点的特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．