Question

7．如图所示，点M是x轴上使得|MA-MB|的值最大的点，点N是y轴上使得NA+NB的值最小的点，则OM×ON=5．

Answer 1

分析 连接AB并延长交x轴于点M，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点N，求出点N与y轴的交点坐标即可得出结论．

解答 解：连接AB并延长交x轴于点M，由三角形的三边关系可知，点M即为x轴上使得|MA-MB|的值最大的点，
∵点B是2x2的正方形的对角线的交点，
∴点M即为AB延长线上的点，此时M（3，0）即OM=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点N，则A′B即为NA+NB的最小值，
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{2=-k+b}\\{1=2k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
∴N（0，$\frac{5}{3}$），即ON=$\frac{5}{3}$，
∴OM•ON=3×$\frac{5}{3}$=5．
故答案为：5．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意得出M、N两点的坐标是解答此题的关键．