Question

12．如图，直线AB经过⊙O的圆心，且与⊙O相交于A，B两点，点C在⊙0上，且∠AOC是锐角．点P是直线AB上一个动点（不与点O重合），直线PC与⊙O相交于点Q，是否存在点P．使得QP=QO？如果存在，这样的点P共有几个？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．

解答 解：存在点P．使得QP=QO，这样的点P共有3个，
理由是：
①根据题意，画出图（1），
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=30°，
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．

②当P在线段OA的延长线上（如图2），
∵OC=OQ，
∴∠OQP=（180°-∠QOC）×$\frac{1}{2}$①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×$\frac{1}{2}$②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③当P在线段OA的反向延长线上（如图3），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×$\frac{1}{2}$①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=（180°-∠OQP）×$\frac{1}{2}$②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④联立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°，
所以存在点P，使得QP=QO，这样的点P共有3个．

点评 本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，先假设存在并进行分类讨论是进行解题的关键．