Question

11．如图，已知点 A（-2，m+4），点B（6，m）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上．
（1）求m，k的值；
（2）过点M（a，0）（a＜0）作x轴的垂线交直线AB于点P，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）于点Q，若PQ=4QM，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）将点A、B坐标代入反比例函数解析式得出关于m、k的方程组，解之可得；
（2）根据A、B坐标求得直线解析式，由M（a，0）得出y_P=-$\frac{1}{2}$a+2、y_Q=$\frac{-6}{a}$，从而知$PQ=|-\frac{1}{2}a+2+\frac{6}{a}|$，$|QM|=|-\frac{6}{a}|$，根据PQ=4QM建立关于a的方程，解之可得．

解答 解：（1）∵点 A（-2，m+4），点B（6，m）在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上．
∴$\left\{\begin{array}{l}m+4=-\frac{k}{2}\\ m=\frac{k}{6}\end{array}\right.$．
∴解得：m=-1，k=-6．

（2）设过A、B两点的一次函数解析式为y=ax+b．
∵A（-2，3），B（6，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}-2k+b=3\\ 6k+b=-1\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$．
∴过A、B两点的一次函数解析式为$y=-\frac{1}{2}x+2$．
∵过点M（a，0）作x轴的垂线交AB于点P，

∴点P的纵坐标为：$-\frac{1}{2}a+2$．
又∵过点M（a，0）作x轴的垂线交$y=\frac{-6}{x}$于点Q，
∴点Q的纵坐标为：$\frac{-6}{a}$．
∴$PQ=|-\frac{1}{2}a+2+\frac{6}{a}|$，$|QM|=|-\frac{6}{a}|$．
又∵PQ=4QM且a＜0，
∴$-\frac{1}{2}a+2+\frac{6}{a}=-\frac{24}{a}$．
∴a²-4a-60=0．
∴a=-6或a=10．
∵a＜0．
∴实数a的值为-6．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及两点间的距离公式、解方程的能力是解题的关键．