Question

19．如图，Rt△OBC中，OB=4，∠BOC=60°，∠BOC的平分线交BC于D，E、F分别是OD、OB上的动点，BE+EF取到最小值时，E点坐标为（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 作B关于直线OD的对称点A，过A作AF⊥OB交OD于E，则AF的长度=BE+EF的最小值，根据已知条件得到△AOB是等边三角形，根据的比较熟悉的性质得到OA=OB=4，OF=$\frac{1}{2}$OB=2，由角平分线的定义得到∠EOF=30°，解直角三角形即可得到结论．

解答 解：作B关于直线OD的对称点A，过A作AF⊥OB交OD于E，
则AF的长度=BE+EF的最小值，
∵∠BOC=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=4，OF=$\frac{1}{2}$OB=2，
∵OD 是∠AOB的平分线，
∴∠EOF=30°，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$OF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴E（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
故答案为：（2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，解题的关键是正确的作出对称点．