Question

4．如图，直线y=kx+b分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）于点E，四边形ABCD是矩形，其中点C在x轴上，点D在双曲线上，EF⊥x轴于点F，若点A、B的坐标分别为（4，0）、（0、2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）求四边形ADEF的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，得出C点坐标，过点D作DG⊥x轴于点G，根据AAS定理得出△BOC≌△DGA，故可得出DG=OB，AG=OC，由此可得出D点坐标；
（3）求出E点坐标，再根据S_{四边形ADEF}=S_梯形EFGD-S_△ADG即可得出结论．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（4，0）、B（0、2），
∴$\left\{\begin{array}{l}4k+b=0\\ b=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（2）∵由（1）知直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
∴设直线BC的解析式为y=2x+b，
∵B（0，2），
∴b=2，
∴直线BC的解析式为y=2x+2，
∴C（-1，0）．
过点D作DG⊥x轴于点G，
∵BC∥AD，
∴∠BCO=∠DAG，
在△BOC与△DGA中，
$\left\{\begin{array}{l}∠BCO=∠DAG\\∠BOC=∠DGA\\ BC=AD\end{array}\right.$，
∴△BOC≌△DGA（AAS），
∴DG=OB=2，AG=OC=1，
∴D（3，-2）；

（3）∵由（2）知D（3，-2），
∴k=3×（-2）=-6，
∴反比例函数的解析式为y=-$\frac{6}{x}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{6}{x}\\ y=-\frac{1}{2}x+2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}x=6\\ y=-1\end{array}\right.$．
∴E（6，-1）．
∴S_{四边形ADEF}=S_梯形EFGD-S_△ADG=$\frac{1}{2}$×（2+1）×（6-3）-$\frac{1}{2}$×2×1=$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．