Question

16．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=$\frac{1}{2}$BC，E、F分别是AB、AC的中点，AD与EF相交于H．求证：以EF为直径的⊙O与BC相切．

Answer 1

分析 作OG⊥BC于G，根据三角形中位线定理得到EF=$\frac{1}{2}$BC，得出AD=EF，根据矩形的性质得到OG=HD，得到OG=$\frac{1}{2}$EF，证明结论．

解答 证明：作OG⊥BC于G，
∵E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，又AD=$\frac{1}{2}$BC，
∴AD=EF，
∵AD⊥BC，OG⊥BC，EF∥BC，
∴四边形HDGO为矩形，
∴OG=HD=$\frac{1}{2}$AD，
∴OG=$\frac{1}{2}$EF，
∴以EF为直径的⊙O与BC相切．

点评 本题考查的是切线的判定、三角形中位线定理，掌握圆心到直线的距离等于圆的半径时，直线与圆相切是解题的关键．