Question

19．若（x²+px+$\frac{28}{3}$）（x²-3x+q）的展开式中不含x²和x³的项．
（1）求p，q的值；
（2）求代数式（-2p²q）³+（3pq）^-1+p²⁰¹⁴q²⁰¹⁶的值．

Answer 1

分析 （1）把首先利用多项式乘多项式法则进而得出原式的展开式的x²项和x³项，进而组成方程组得出p，q的值；
（2）把p，q的值代入代数式即可求得答案．

解答 解：（1）∵（x²+px+$\frac{28}{3}$）（x²-3x+q）
=x⁴-3x³+qx²+px³-3px²+pqx+$\frac{28}{3}$x²-28x+$\frac{28}{3}$q
=x⁴+（-3+p）x³+（q-3p+$\frac{28}{3}$）x²+（pq-28）x+$\frac{28}{3}$q，
∴原式的展开式的x²项和x³项分别是（q-3p+$\frac{28}{3}$），（-3+p）x³，
依据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{q-3p+\frac{28}{3}=0}\\{-3+p=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{p=3}\\{q=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$．
故p的值是3，q的值是-$\frac{1}{3}$；

（2）（-2p²q）³+（3pq）^-1+p²⁰¹⁴q²⁰¹⁶
=[-2×3²×（-$\frac{1}{3}$）]³+[3×3×（-$\frac{1}{3}$）]^-1+3²⁰¹⁴×（-$\frac{1}{3}$）²⁰¹⁶
=6³+2^-1+（-$\frac{1}{3}$）²
=216+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{9}$
=216$\frac{11}{18}$．

点评 此题主要考查了多项式乘多项式，正确展开多项式是解题关键．