Question

19．如图，已知：矩形AOCB的顶点B在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，且AB=3，BC=8．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若动点E从A开始沿AB向B以每秒1个单位长度的速度运动，同时动点F从B开始沿BC向C以每秒2个单位长度的速度运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动，设运动时间为t秒，
①当t为何值时，△BEF是等腰直角三角形？
②当t=2时，在双曲线上是否存在一点M，使得四边形EFBM为平行四边形？说明理由；
（3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上是否存在点D，使△DEF的周长最小？若存在，请求出△DEF的周长最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AB与BC的长，且B为第一象限角，确定出B的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）①如图1所示，若△BEF为等腰直角三角形，则有BE=BF，列出关于t的方程，求出方程的解即可得到结果；②根据题意得到M位于线段AB上方时，四边形EFBM为平行四边形，利用平行四边形的性质得到ME=BF，确定出此时M的坐标即可；
（3）若在（2）中的条件下，运动1秒时，在y轴上存在点D，使△DEF的周长最小，理由为：作出E关于y轴的对称点E′，连接E′F，与y轴交于点D，连接DE，EF，此时△DEF周长最小，求出周长最小值即可．

解答 解：（1）∵AB=3，BC=8，且B在第一象限，
∴B（3，8），
把B坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=24，
则反比例函数关系式为y=$\frac{24}{x}$；
（2）①若△BEF为等腰直角三角形，
则有BE=BF，即3-t=2t，
解得：t=1，
则当t=1时，△BEF是等腰直角三角形；
②由t=2，得到AE=2，BF=4，
由题意得：M在线段AB上方时，四边形EFBM为平行四边形，如图1所示，

∴ME=BF=4，
此时M坐标为（2，12）；
（3）存在点D，使△DEF周长最小，理由为：

作出E关于y轴的对称点E′，连接E′F，与y轴交于点D，连接DE，EF，此时△DEF周长最小，
此时DE=DE′，
∵AE=AE′=1，BF=2，
∴BE′=AB+AE′=3+1=4，
在Rt△BE′F中，根据勾股定理得：E′F=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴DE+DF=DE′+DF=E′F=2$\sqrt{5}$，
在Rt△BEF中，BE=3-1=2，BF=2，
根据勾股定理得：EF=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
则△DEF的周长最小值为2$\sqrt{5}$+2$\sqrt{2}$．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，对称的性质，勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．