Question

16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，AB=2，AD=4，点M，点N分别在边BC，CD上，则△AMN周长的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{7}$
• B． 4$\sqrt{7}$
• C． 2$\sqrt{7}$+6
• D． 11

Answer 1

分析 根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定理，求出即可．

解答 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值，作A′H⊥DA交DA的延长线于H，
∴AA′=2AB=4，AA″=2AD=8，∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
则Rt△A′HA中，∵∠EAB=120°，∴∠HAA′=60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H=30°，
∴AH=$\frac{1}{2}$AA′=2，
∴A′H=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
A″H=2+8=10，
∴A′A″=$\sqrt{A′{H}^{2}+A″{H}^{2}}$=4$\sqrt{7}$．
故选：B．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．