如图.图甲中△ABC是等边三角形.其边长是3.图乙中△DEF是等腰直角三角形.∠F=90°.DF=EF=3．(1)记S1为△ABC的面积.S2为△DEF的面积.S1=$\frac{1}{2}AB$•BC•sin∠B.S2=$\frac{1}{2}DE•DF$•sin∠D.请通过计算说明S1与S3•S2与S4之间有着怎样� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．如图，图甲中△ABC是等边三角形，其边长是3，图乙中△DEF是等腰直角三角形，∠F=90°，DF=EF=3．
（1）记S₁为△ABC的面积，S₂为△DEF的面积，S₁=$\frac{1}{2}AB$•BC•sin∠B，S₂=$\frac{1}{2}DE•DF$•sin∠D，请通过计算说明S₁与S₃•S₂与S₄之间有着怎样的关系．
（2）在图丙中，∠P=α（α为锐角），OP=m，PQ=n，△OPQ的面积为S，请你根据第（1）小题的解答，直接写出S与m、n以及α之间的关系式，并给出证明．

分析（1）作AD⊥BC于D，如图甲，在Rt△ABD中，利用正弦定义得到AD=AB•sinB，则根据三角形面积公式得到△ABC的面积=$\frac{1}{2}$•AD•BC=$\frac{1}{2}$•AB•BC•sinB，于是得到S₁=S₃；
如图乙，同样方法可得S₂=S₄；
（2）作OH⊥PQ于H，如图丙，在Rt△OPH中利用正弦定义得到OH=OP•sinP=m•sinα，然后根据三角形面积公式可得△OPQ的面积S=$\frac{1}{2}$•OH•PQ=$\frac{1}{2}$•m•n•sinα．

解答解：（1）作AD⊥BC于D，如图甲，
在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=AB•sinB，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$•AD•BC=$\frac{1}{2}$•AB•BC•sinB，
∴S₁=S₃；
如图乙，在Rt△DEF中，
∵sinD=$\frac{EF}{DE}$，
∴EF=DE•sinD，
∴△DEF的面积=$\frac{1}{2}$•EF•DF=$\frac{1}{2}$•DE•DF•sinD，
∴S₂=S₄；
（2）作OH⊥PQ于H，如图丙，
在Rt△OPH中，∵sinP=$\frac{OH}{OP}$，
∴OH=OP•sinP=m•sinα，
∴△OPQ的面积=$\frac{1}{2}$•OH•PQ=$\frac{1}{2}$•m•n•sinα，
即S=$\frac{1}{2}$mn•sinα．