Question

4．如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=2，BC=4，CD=AD=$\sqrt{6}$．
（1）求∠BAD、∠BCD的度数．
（2）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由等腰直角三角形的性质得出∠DAC=∠ACD=45°，AC²=AD²+CD²=2×6=12．AC=2$\sqrt{3}$，由勾股定理的逆定理证出∠BAC=90°．证出∠ACB=30°，即可得出所求；
（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积，代入计算即可．

解答 解：（1）连接AC，如图所示：
∵CD=AD=$\sqrt{6}$，∠D=90°，
∴∠DAC=∠ACD=45°，AC²=AD²+CD²=2×6=12．AC=2$\sqrt{3}$，
在△ABC中，∵AB²+BC²=2²+12=16=AC²，
∴∠BAC=90°．
∵BC=2AB，
∴∠ACB=30°，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+45°=135°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+45°=75°；
（2）四边形ABCD的面积=△ABC的面积+△ACD的面积$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{6}$×$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$+3．

点评 此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、勾股定理的逆定理以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理是解本题的关键．