Question

13．已知，抛物线y=a（x-h）²的顶点C（-3，0）与y轴交于A（0，1）
（1）求此抛物线的解析式并画出它的图象；
（2）求此抛物线向右平移4个单位后与y轴的交点坐标；
（3）在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使以点Q、O、A为顶点的△AQO是直角三角形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点坐标可得出h的值，将点A的坐标代入抛物线解析式y=a（x+3）²中求出a值，从而得出抛物线的解析式，再利用五点法画出函数图象即可；
（2）根据平移的规则“左加右减”可找出平移后抛物线的解析式，将x=0代入新解析式中求出y值即可；
（3）由OC=3＞OA=1可得出△AQO为直角三角形只有两种情况，分∠OAQ₁=90°和∠AOQ₂=90°两种情况考虑，根据抛物线的对称轴结合OA在y轴上即可找出点Q₁、Q₂的坐标，此题得解．

解答 解：（1）∵抛物线y=a（x-h）²的顶点C（-3，0），
∴h=-3．
又∵抛物线y=a（x-h）²与y轴交于A（0，1），
∴a（0+3）²=1，解得：a=$\frac{1}{9}$，
∴此抛物线的解析式为y=$\frac{1}{9}$（x+3）²=$\frac{1}{9}$x²+$\frac{2}{3}$x+1．
找出函数图象上五点的坐标，画出函数图象如图1所示．

（2）此抛物线向右平移4个单位后得到抛物线解析式为y=$\frac{1}{9}$（x+3-4）²=$\frac{1}{9}$x²-$\frac{2}{9}$x+$\frac{1}{9}$，
当x=0时，y=$\frac{1}{9}$，
∴此抛物线向右平移4个单位后与y轴的交点坐标为（0，$\frac{1}{9}$）．
（3）∵OC=3，OA=1，
∴△AQO为直角三角形只有两种情况（如图2所示）：
①当∠OAQ₁=90°时，
∵抛物线的对称轴为x=3，点A的坐标为（0，1），线段OA在y轴上，
∴AQ₁∥x轴，
∴点Q₁的坐标为（3，1）；
②当∠AOQ₂=90°时，
∵抛物线的对称轴为x=3，点O的坐标为（0，0），线段OA在y轴上，
∴AQ₂∥x轴，
∴点Q₂的坐标为（3，0）．
综上所述：在此抛物线的对称轴上存在一点Q（3，1）或（3，0），使以点Q、O、A为顶点的△AQO是直角三角形．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数图象、二次函数图象与几何变换以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）熟记平移的规则“左加右减”；（3）根据边与边之间的关系找出当∠OAQ₁=90°或∠AOQ₂=90°时△AQO是直角三角形．本题属于中档题，难度不大，画出函数图象，利用数形结合解决问题是关键．