Question

11．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB与E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：其中正确的结论是（　　）
①EF=BE+CF；
②∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=mn．
④EF不能成为△ABC的中位线．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A正确；由平行线的性质和角平分线的定义得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=$\frac{1}{2}$mn，故③错误；E、F不可能是三角形ABC的中点，则EF不能为中位线故④正确．

解答 解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+$\frac{1}{2}$∠A；故②正确；
∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，
∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，
∴BE=OE，CF=OF，
∴EF=OE+OF=BE+CF，
故①正确；
过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴ON=OD=OM=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=$\frac{1}{2}$AE•OM+$\frac{1}{2}$AF•OD=$\frac{1}{2}$OD•（AE+AF）=$\frac{1}{2}$mn；故③错误；
∵E、F不可能是三角形ABC的中点，∴EF不可能是△ABC的中位线．
所以④正确．
综上可知其中正确的结论是①②④，
故选C．

点评 此题考查了三角形中位线定理的运用，以及平行线的性质、等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．