Question

1．如图1，直线a与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．
（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，M为线段EF上一定点，点P为直线CD上一动点．
①当点P在射线FC上运动时（不与点F重合）∠MPF+∠PMF与∠AEF有何数量关系？猜想结论并说明理由；
②当点P在射线FC的反向延长线上运动时（不与点F重合），∠MPF+∠PMF与∠AEF有何数量关系？猜想结论，不需说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据∠1与∠2互补，以及∠2与∠EFD互补，即可得出∠1=∠EFD，进而得到AB∥CD；
（2）由AB∥CD，利用两直线平行，同旁内角互补，可得∠AEF十∠EFC=180°，又由三角形内角和定理，即可得∠FMP+∠FPM+∠EFC=180°，则可得∠FMP+∠FPM=∠AEF；
（3）由AB∥CD，利用两直线平行，内错角相等，即可证得∠AEF=∠EFD，又由三角形内角和定理，即可得∠FMP+∠FPM+∠EFD=180°，则可得∠FMP+∠FPM+∠AEF=180°．

解答 解：（1）AB∥CD．
理由如下：∵∠1与∠2互补，
又∠2与∠EFD互补，
∴∠1=∠EFD，
∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）．

（2）∠MPF+∠PMF=∠AEF．
理由如下：如图，过点M作直线HG∥AB，
∵AB∥HG，
∴∠AEF=∠HMF （两直线平行，同位角相等），
∵AB∥CD，
∴HG∥CD，
∴∠MPF=∠HMP （两直线平行，内错角相等），
又∵∠HMP+∠PMF=∠HMF，
∴∠MPF+∠PMF=∠AEF．
  
（3）∠FMP+∠FPM+∠AEF=180°．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∵∠FMP+∠FPM+∠EFD=180°（三角形内角和定理），
∴∠FMP+∠FPM+∠AEF=180°（等量代换）．

点评 此题考查了平行线的性质与三角形内角和定理．注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．