Question

5．在如图所示的直角坐标系中，若△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8$\sqrt{2}$，D为斜边BC的中点．点P由点A出发沿线段AB做匀速运动，P′是P关于AD的对称点；点Q由点D出发沿射线DC方向做匀速运动，且满足四边形QDPP′是平行四边形．设平行四边形QDPP′的面积为S，DQ=m．
（1）请直接写出点A﹑B两点的坐标；
（2）求S关于m的函数关系式；
（3）当S取最大值时，求过点P，A，P′的二次函数关系式；
（4）在（3）中所求的二次函数图象上是否存在一点E，使△EPP′的面积为20？若存在，请求出E点坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质即可得到结果；
（2）根据题意易得，四边形PDQP′为平行四边形，设DQ=m；故有AF=PF=FP′=$\frac{1}{2}$m，故DF=AD-AF=8-$\frac{1}{2}$m；进而可得S关于m的函数解析式；
（3）由（1）可得，其解析式为二次函数，分析可得当m=8时，S取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，进而可得过点P，A，P′的二次函数解析式；
（4）首先假设存在，并设其坐标为（x，y），表示出△PP′E的面积，可得x与y的值，判断出存在．

解答 解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC=8$\sqrt{2}$，D为斜边BC的中点，
∴BC=16，
∴OA=0B=OC=$\frac{1}{2}$BC=8，
∴A（0，8）B（-8，0）；

（2）∵△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=8$\sqrt{2}$，
∴BC=16，
∵D为斜边BC的中点，
∴AD=BD=DC=8，
∵四边形PDQP′为平行四边形，DQ=m，
∴AF=PF=FP′=$\frac{1}{2}$m，
故DF=AD-AF=8-$\frac{1}{2}$m，
则平行四边形PDQP′的面积S=m（8-$\frac{1}{2}$m）=-$\frac{1}{2}$m²+8m；

（3）当m=8时，S取最大值，此时Q点运动到C点，P点运动到AB的中点，
则点A、P、P′的坐标分别为（0，8）、（-4，4）、（4，4）．
设过上述三点的二次函数解析式为y=ax²+8，
代入P点坐标有y=-$\frac{1}{4}$x²+8；   

（4）假设在y=-$\frac{1}{4}$x²+8的图象上存在一点E，使S_△PP′E=20，
设E的坐标为（x，y），则S_△PP′E=$\frac{1}{2}$×PP′×|y-4|=20．
即|y-4|=5，可得y=9，-1，
代入解析式可得E点坐标为（-6，-1），（6，-1）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，根据平行四边形的面积公式求二次函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，正确的理解题意，识别图形是解题的关键．