如图.边长为5的菱形ABCD如图所示放置在平面直角坐标系xOy中.点A在x轴正半轴上.点D在x轴负半轴上.点B(0.4)．(1)求AB所在直线的解析式,(2)如直线l经过点C且与直线y=x平行.点P(0.t)是y轴上的一个动点．①当点P在线段OB上.过点P作平行于x轴的直线分别交AB于M.交直线l于N．设线段MN的长度为d.求d关于t的函数解析式.并写出它的定义域,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．

如图，边长为5的菱形ABCD如图所示放置在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，点D在x轴负半轴上，点B（0，4）．
（1）求AB所在直线的解析式；
（2）如直线l经过点C且与直线y=x平行，点P（0，t）是y轴上的一个动点．
①当点P在线段OB上（点P不与O、B重合），过点P作平行于x轴的直线分别交AB于M、交直线l于N．设线段MN的长度为d，求d关于t的函数解析式，并写出它的定义域；
②当点P在y轴正半轴上，如△PCD是等腰三角形，求t的值．

分析（1）利用菱形的性质及B点坐标，在Rt△AOB中由勾股定理可求得OA的长，则可求得A点坐标，利用待定系数法可求得直线AB解析式；
（2）①由菱形的性质可求得C点坐标，则可求得直线l的解析式，从而可用t分别表示出M、N的坐标，则可得到d关于t的函数解析式，结合P在线段OB上可求得t的取值范围；
②用t可分别表示出PC、PD的长，结合C、D坐标可求得CD的长，分PD=PC、PD=CD和PC=CD三种情况可分别得到关于t的方程，可求得t的值．

解答解：
（1）∵B（0，4），
∴OB=4，
∵四边形ABCD为菱形，且边长为5，
∴AB=AD=BC=CD=5，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得OA=3，
∴A（3，0），
设AB所在直线解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴AB所在直线的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4；
（2）①由题意可知C（-5，4），
∵直线l经过点C且与直线y=x平行，
∴可设直线l解析式为y=x+m，
∴4=-5+m，解得m=9，
∴直线l解析式为y=x+9，
∵过点P作平行于x轴的直线分别交AB于M、交直线l于N，且P（0，t），
∴M、N点的纵坐标为t，
在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，令y=t，可解得x=1-$\frac{3}{4}$t，在y=x+9中，令y=t可得x=t-9，
∴d=1-$\frac{3}{4}$t-（t-9）=10-$\frac{3}{4}$t，
∵点P在线段OB上（点P不与O、B重合），
∴0＜t＜4；
②∵A（3，0），AD=5，
∴D（-2，0），且C（-5，4），P（0，t），
∴PC²=5²+（t-4）²=t²-8t+41，PD²=2²+t²=t²+4，CD²=（-5+2）²+4²=25，
∵△PCD为等腰三角形，
∴有PC=PD、PC=CD和PD=CD三种情况，
当PC=PD时，则有t²-8t+41=t²+4，解得t=$\frac{37}{8}$；
当PC=CD时，则有t²-8t+41=25，解得t=4；
当PD=CD时，则t²+4=25，解得t=$\sqrt{21}$或t=-$\sqrt{21}$（舍去）；
综上可知当△PCD是等腰三角形时，t的值为$\frac{37}{8}$或4或$\sqrt{21}$．

点评本题为一次函数的综合应用，涉及菱形的性质、勾股定理、待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）①中用t表示出M、N的横坐标是解题的关键，在（2）②中利用t分别表示出PD、PC和CD的长是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．