Question

16．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．
（1）求证：PF平分∠BFD．
（2）若tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，DF=$\sqrt{10}$，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD=∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF=∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF=90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，设CF=3x，BC=4x，于是得到3x+$\sqrt{10}$=4x，x=$\sqrt{10}$，求得AD=BC=4$\sqrt{10}$，推出DF∥OE∥AB于是得到DE：AE=OF：OB=1：1即可得到结论．

解答 解：（1）连接OE，BF，PF，
∵∠C=90°，
∴BF是⊙O的直径，
∵⊙O与AD相切于点E，
∴OE⊥AD，
∵四边形ABCD的正方形，
∴CD⊥AD，
∴OE∥CD，
∴∠EFD=∠OEF，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠OFE=∠EFD，
∴EF平分∠BFD；

（2）连接PF，
∵BF是⊙O的直径，
∴∠BPF=90°，
∴四边形BCFP是矩形，
∴PF=BC，
∵tan∠FBC=$\frac{3}{4}$，
设CF=3x，BC=4x，
∴3x+$\sqrt{10}$=4x，x=$\sqrt{10}$，
∴AD=BC=4$\sqrt{10}$，
∵点E是切点，
∴OE⊥AD
∴DF∥OE∥AB
∴DE：AE=OF：OB=1：1
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=2$\sqrt{10}$，
∴EF=$\sqrt{D{E}^{2}+D{F}^{2}}$=10．

点评 本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．