Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．求PE+PF的值．

Answer 1

分析 首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，可求得OA=OD=$\frac{5}{2}$，S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=3，然后由S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP=$\frac{1}{2}$OA•PE+$\frac{1}{2}$OD•PF=$\frac{1}{2}$OA（PE+PF）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（PE+PF）=3，求得答案．

解答 解：连接OP，如图所示：
∵矩形ABCD的两边AB=3，BC=4，
∴S_矩形ABCD=AB•BC=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴S_△AOD=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=3，OA=OD=$\frac{5}{2}$，
∴S_△AOD=S_△AOP+S_△DOP=$\frac{1}{2}$OA•PE+$\frac{1}{2}$OD•PF=$\frac{1}{2}$OA（PE+PF）=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×（PE+PF）=3，
∴PE+PF=$\frac{12}{5}$．

点评 此题考查了矩形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．