Question

13．关于x的一元二次方程ax²-2ax+a-2=0．
（1）若方程有两实数根，求a的范围．
（2）设方程两实根分别为x₁，x₂，且（x₁-x₂）²=16，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义以及判别式的意义得到a≠0且△=4a²-4a（a-2）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a-2}{a}$，由（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，整体代入得到关于a的方程，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）根据题意得a≠0，且△=4a²-4a（a-2）≥0，
解得a＞0，
故实数a的取值范围是a＞0；

（2）根据题意得x₁+x₂=2，x₁•x₂=$\frac{a-2}{a}$，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=16，
∴4-4×$\frac{a-2}{a}$=16，
解得：a=$\frac{1}{2}$，符合题意．
故a的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．