Question

12．（1）已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），不等式f（x）＞0的解集为（1，3），且方程f（x）-1=0有两个相等的实数解，求函数f（x）的解析式；
（2）设f（x）是二次函数，且f（0）=0，f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意，抛物线与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），顶点（2，1），设抛物线为y=a（x-2）²+1，把（1，0）代入即可求出a，解决问题．
（2）设f（x）=ax²+bx+c，由题意c=0，由a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，可得a=-1，a+b=0，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意，抛物线与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0），顶点（2，1），
设抛物线为y=a（x-2）²+1，把（1，0）代入得a=-1，
∴函数f（x）的解析式为y=-x²+4x-3．

（2）设f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=0，
∴c=0，
∴a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
∴2ax+a+b=2x，
∴a=1，a+b=0，
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x．

点评 本题考查二次函数与不等式、解题的关键是灵活运用二次函数的性质解决问题，题目比较抽象，有一定难度．