题目内容
【题目】在平面直角坐标系
中，点A的坐标为
，点B的坐标为
，且
，
．给出如下定义：若平面上存在一点P，使
是以线段
为斜边的直角三角形，则称点P为点A、点B的“直角点”．
（1）已知点A的坐标为
．
①若点B的坐标为
，在点
、
和
中，是点A、点B的“直角点”的是_________；
②点B在x轴的正半轴上，且
，当直线
上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取值范围；
（2）
的半径为r，点
为点
、点
的“直角点”，若使得
与有交点，直接写出半径r的取值范围．
【答案】（1）①
，
；②
；（2）
【解析】
（1）①利用两点间的距离公式分别求得各线段平方的值，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
②首先判断点A、B的“直角点”在以点C为圆心，
的长为半径的
上，分类求得直线
与相切时，
的值，即可求解；
（2）根据“直角点”的定义求得点F的坐标，根据点E、F与
的位置关系，利用勾股定理即可求解．
（1）① ∵
，
，
，
∵
，
∴
，
不是点A、点B的“直角点”；
，
，
∵
，
∴
，是点A、点B的“直角点”；
，
，
∵
，
∴
，是点A、点B的“直角点”；
故答案为：，；
②∵
，
∴线段
的中点
，
∴点A、B的“直角点”在以点C为圆心，的长为半径的上，
∴当直线与相切于点D，与两坐标轴相交于点M、N时，如图：
令
，则
，令
，则
，
∴
，
∴∠OMN=45
，CD=，
∴
，
∴
；
当直线与相切于点E时，如图：
同理：
，
∴
，
即
；
综上所述：；
（2）根据“直角点”的定义知：点F的坐标为(
，2)，
∵
，
，
，
∵
，
∴
，
解得：
，
∴点F的坐标为(
，2)，
∴
，
，
，
∴若使得
与有交点，直接写出半径r的取值范围为：；
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