Question

5．如图，∠ABC=45°，△ADE是等腰直角三角形，AE=AD，顶点A，D分别在∠ABC的两边BA，BC上滑动（不与点B重合），△ADE的外接圆交BC于点F，O为圆心．
（1）连接AF，EF，则∠AFE=45°；
（2）当点D在点F的右侧时，
①求证：EF=BD；
②若AB=4$\sqrt{2}$，8$\sqrt{2}$＜BE≤4$\sqrt{13}$，则⊙O的面积S的取值范围是16π＜S≤40π．

Answer 1

分析 （1）由$\widehat{AE}$=$\widehat{AE}$可知∠AFE=∠ADE=45°．
（2）①根据等腰直角三角形得∠ADE=45°，则∠ABD=∠AFE，再利用同弧所对的圆周角相等可知：∠AEF=∠ADB，根据AAS证明△ABD≌△AFE；
②由全等可知：BD=EF，∠EAF=∠BAD，因此设BD=x，则EF=x，根据等式的性质得∠BAF=∠EAD=90°，则△ABF是等腰直角三角形，计算得BF=8，则DF=x-8，根据勾股定理得BE²=EF²+BF²，求出x的取值为8＜x≤12，同时由圆的面积公式计算得：S=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，根据二次函数的增减性得出：16π＜S≤40π．

解答 （1）解：如图，∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∵$\widehat{AE}$=$\widehat{AE}$，
∴∠AFE=∠ADE=45°，
故答案为45°．

（2）①证明：∵∠ADE=∠AFE=45°，∠ABD=45°，
∴∠ABD=∠AFE，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{AF}$，
∴∠AEF=∠ADB，
∵DE是直径，
∴∠EFD=∠EFB=90°，
∴∠AFB=∠B=45°，
∴AB=AF，
在△ABD和△AFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠AEF}\\{∠B=∠AFE}\\{AB=AF}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△AFE；

②解：∵△ABD≌△AFE，
∴BD=EF，∠EAF=∠BAD，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∵AB=4 $\sqrt{2}$，
∴BF=$\frac{AB}{cos∠ABF}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8，
设BD=x，则EF=x，DF=x-8，
∵BE²=EF²+BF²，8 $\sqrt{2}$＜BE≤4 $\sqrt{13}$，
∴128＜EF²+8²≤208，
∴8＜EF≤12，即8＜x≤12，
则S=$\frac{π}{4}$DE²=$\frac{π}{4}$[x²+（x-8）²]=$\frac{π}{2}$（x-4）²+8π，
∵$\frac{π}{2}$＞0，
∴抛物线的开口向上，
又∵对称轴为直线x=4，
∴当8＜x≤12时，S随x的增大而增大，
∴16π＜S≤40π．
故答案为16π＜S≤40π．

点评 本题是圆的综合题、等腰直角三角形、三角函数、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建二次函数利用二次函数的性质解决问题，属于中考压轴题．