Question

15．已知，如图，CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠FBO，OE平分∠COF，
（1）求∠EOB的度数
（2）若向右平行移动AB，其他条件不变，那么∠OBC：∠OFC的值是否发生变化？若变化，找出其中的规律，若不变，求出这个比值
（3）若向右平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，请直接写出∠OBA的度数，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，然后求出∠EOB=$\frac{1}{2}$∠AOC，计算即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠OBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠OFC=2∠OBC，从而得解；
（3）根据三角形的内角和定理求出∠COE=∠AOB，从而得到OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵CB∥OA，
∴∠AOC=180°-∠C=180°-120°=60°，
∵OE平分∠COF，
∴∠COE=∠EOF，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×60°=30°；

（2）∵CB∥OA，
∴∠AOB=∠OBC，
∵∠FOB=∠AOB，
∴∠FOB=∠OBC，
∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；

（3）在△COE和△AOB中，
∵∠OEC=∠OBA，∠C=∠OAB，
∴∠COE=∠AOB，
∴OB、OE、OF是∠AOC的四等分线，
∴∠COE=$\frac{1}{4}$∠AOC=$\frac{1}{4}$×60°=15°，
∴∠OEC=180°-∠C-∠COE=180°-120°-15°=45°，
故存在某种情况，使∠OEC=∠OBA，此时∠OEC=∠OBA=45°．

点评 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．