Question

△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为他们的公共直角顶点，连AD，BE，F为线段AD的中点，连CF．
（1）如图1，当D点在BC上时，试探索BE与CF的关系，并证明；
（2）如图2，把△DEC绕C点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明；如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定与性质,旋转的性质

专题：创新题型

分析：（1）根据题干中给出的条件可以证明Rt△ADC≌Rt△BEC，可以得出CF=

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BE，且CF⊥BE；
（2）延长CF至点G使FG=FC，连接AG、GD，可证明△AGC≌△CEB同理可得CF=

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2

BE，且CF⊥BE．

解答：解：（1）CF=

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2

BE，CF⊥BE．
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点
∴∠C=90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，

CD=CE AC=BC

，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
又∵F为线段AD的中点，
∴CF=DF=

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AD，
∴CF=

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BE，∠ADC=∠FCD，
∴∠BEC=∠FCD，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠FCD+∠EBC=90°，
∴CF⊥BE．
（2）依然成立，即CF=

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BE，CF⊥BE，

延长CF至点G使FG=FC，连接AG、GD，
∵F为线段AD的中点，
∴四边形ACDG为平行四边形，
∴AG∥CD，AG=CD，
∠GAC+∠ACD=180°，
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的共同直角顶点，
∴∠ACB=∠DCE=90°，CD=CE，AC=BC，
∴AG=CE，∠BCD+∠DAC+∠DAC+∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△AGC和△CEB中，

AC=BC ∠GAC=∠BCE AG=CE

，
∴△AGC≌△CEB（SAS），
∴BE=CG，∠ACG=∠CBE
∵∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠CBE+∠BCG=90°，
∴CF=

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2

BE，CF⊥BE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了垂直的判定．