Question

（1）如图1，已知点E是等腰梯形ABCD边BC上的点，连接AE交对角线BD于F，在BC上找一点G，连DG交AC于H，使GH=EF（保留作图痕迹，不写做法）．
（2）如图2，小明做出图后发现，此时四边形AEGD刚好是等腰梯形，于是小明猜想：如图3在任意梯形ABCD中，AD∥BC，E，F为AB，CD上的点，若EB=FC，∠DAF=∠ADE，则梯形ABCD为等腰梯形．小明猜想正确吗？说明理由．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,等腰梯形的判定

专题：

分析：（1）在BC上截取CG=BE，连接DG与AC相交于H，根据等腰梯形的轴对称性，EF与GH重合；
（2）延长DE、AF分别与BC相交于点G、H，设AF、DE相交于点O，根据等角对等边可得AO=DO，根据两直线平行，内错角相等可得∠OGH=∠OHG，再根据等角对等边可得OG=OH，然后求出AH=DG，再根据对角线相等的梯形是等腰梯形得到四边形AGHD是等腰梯形，然后利用（1）的结论证明即可．

解答：解：（1）GH如图所示；

（2）根据（1）的作图，由等腰梯形的轴对称性可得AE=DG，
所以，四边形AEGD是等腰梯形，
如图，延长DE、AF分别与BC相交于点G、H，
设AF、DE相交于点O，
∵∠DAF=∠ADE，
∴AO=DO，
∵AD∥BC，
∴∠OGH=∠ADE，∠OHG=∠DAF，
∴∠OGH=∠OHG，
∴OG=OH，
∵AH=AO+OH，DG=DO+OG，
∴AH=DG，
∴四边形AGHD是等腰梯形，
∴梯形ABCD为等腰梯形．

点评：本题考查了梯形的性质，梯形的判定，主要利用了等腰梯形的轴对称性，读懂题目信息，理解（1）的作图理论依据和小明发现问题的方法是解题的关键．