题目内容
已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，将∠MBN绕点B旋转．
（1）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE=CF，求证：①BE=BF②AE+CF=EF；
（2）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE≠CF时，小颖猜想（1）中的AE+CF=EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；
（3）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，请你猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系，并证明你的猜想．
（1）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE=CF，求证：①BE=BF②AE+CF=EF；
（2）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，且AE≠CF时，小颖猜想（1）中的AE+CF=EF仍然成立，并尝试作出了延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，请你证明小颖的猜想；
（3）当∠MBN旋转到（如图1）的位置，此时∠MBN的两边分别交AD，DC于E，F，请你猜想线段AE、CF、EF之间的数量关系，并证明你的猜想．
考点：全等三角形的判定与性质
专题：常规题型
分析：（1）易证△ABE≌△CBF即可证明；②根据△ABE≌△CBF可证△BEF是等边三角形，即可解题；
（2）证明△EBF≌△KBF，即可得EF=CK+CF，可证AE+CF=EF；
（3）证明△EBF≌△KBF，即可得AE-CF=EF．
（2）证明△EBF≌△KBF，即可得EF=CK+CF，可证AE+CF=EF；
（3）证明△EBF≌△KBF，即可得AE-CF=EF．
解答：解：（1）①在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE=BF；
②由①知△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF=
（∠ABC-∠MBN）=
（120°-60°）=30°．
∴AE=
BE，CF=
BF，
△BEF是等边三角形．
∴BE=BF=EF．
∴AE+CF=
BE+
BF=EF；
（2）延长DC至K点使得CK=AE，如图．
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF=KF．
∴EF=CK+CF．
∴AE+CF=EF；
（3）如图3，猜想AE-CF=EF．
证明如下：
在DC的延长线上取点K，
使CK=AE，连接BK．
在△ABE和△CBK中，
，
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF．
∴AE-CF=EF．
|
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
∴BE=BF；
②由①知△ABE≌△CBF，
∴∠ABE=∠CBF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
△BEF是等边三角形．
∴BE=BF=EF．
∴AE+CF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（2）延长DC至K点使得CK=AE，如图．
在△ABE和△CBK中，
|
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°，
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
|
∴△EBF≌△KBF（SAS）．
∴EF=KF．
∴EF=CK+CF．
∴AE+CF=EF；
（3）如图3，猜想AE-CF=EF．
证明如下：
在DC的延长线上取点K，
使CK=AE，连接BK．
在△ABE和△CBK中，
|
∴△ABE≌△CBK（SAS）．
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠ABE+∠CBE=120°，
∴∠KBC+∠CBE=120°，
即∠KBE=120°．
∵∠EBF=60°，
∴∠KBF=∠EBF=60°．
在△EBF和△KBF中，
|
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴EF=KF，
∴EF=CK-CF．
∴AE-CF=EF．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等边三角形各边长相等的性质．
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