Question

我们在前面曾遇到过这样一道题目：

小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE

 

 DB（填“＞”、“＜”或“=”）
（2）一般情况，证明结论：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F． 请你继续完成对以上问题（1）中所填写结论的证明．

（3）变式探究：如图3，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点，点E在BA的延长线上，且BD=AE，此时，CE和DE有何数量关系？请画出图形，作出判断，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：探究型

分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可以求得∠DEB=∠D，可证明BD=BE，进一步得到AE=BD；
（2）EF∥BC可得BE=CF，可以证明△CEF≌△DBE，可以求得AE=DB；
（3）过D做DF∥AC，可证△DEF≌△ECA，可以得出CE=DE．

解答：解：（1）∵E为等边三角形AB边的中点，
∴∠ECD=30，
∵DE=CE，
∴∠ECD=∠D=30°
∵∠DEB=180°-∠D-∠DBE=30°
∴∠DEB=∠D，
∴BD=BE，
∴AE=BD．
（2）如图2，

∵在等边三角形ABC中，EF∥BC∴BE=CF，
∵DE=CE，
∴∠D=∠ECD
∵∠D+∠DEB=60°，∠ECF+∠ECD=60°，
∴∠ECF=∠DEB
在△CEF和△DBE中，

DE=EC ∠ECF=∠DEB BE=FC

，
∴△CEF≌△DBE（SAS）
∴AE=DB．
（3）如图3，过D做DF∥AC，则△BDF为等边三角形，∴BD=BF=DF，

∵BD=AE，
∴AB=BF+AF=BD+AF=AE+AF=EF，
∴AC=EF，
∵DF∥AC，
∴∠DFE=∠EAC，
在△DEF和△ECA中，

AE=DF ∠DFE=∠EAC EF=AC

，
∴△DEF≌△ECA（SAS），
∴CE=DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中熟练求证三角形全等是解题的关键．