Question

3．如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是CD的中点，N是BC上一点，且BN=$\frac{3}{4}$BC．求△AMN的面积．

Answer 1

分析 首先用a表示出AN、AM和MN的长，再利用勾股定理的逆定理证明△AMN是直角三角形，最后利用三角形面积公式计算即可．

解答 解：在Rt△ABN中，AN²=AB²+BN²，
∴AN²=a²+（$\frac{3}{4}$a）²=$\frac{25}{16}$a²，
在Rt△ADM中，AM²=AD²+DM²，
∴AM²=a²+（$\frac{a}{2}$）²=$\frac{5}{4}$a²，
在Rt△CMN中，MN²=CM²+CN²，
∴MN²=（$\frac{1}{2}$a）²+（$\frac{1}{4}$a）²=$\frac{5}{16}$a²，
∵$\frac{25}{16}$a²=$\frac{5}{4}$a²+$\frac{5}{16}$a²，
∴AN²=AM²+MN²，
∴△AMN是直角三角形，
∴S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•AN=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$a×$\frac{\sqrt{5}}{4}$a=$\frac{5}{16}$a²．

点评 本题主要考查了正方形的性质以及勾股定理的知识，解题的关键是证明△AMN是直角三角形，此题难度不大．