Question

5．如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别为S₁、S₂、S₃，若AD=2，AB=2$\sqrt{3}$，∠A=60°，则S₁+S₂+S₃的值为（　　）

• A． $\frac{10}{3}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{13}{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 先作辅助线DH⊥AB于点D，然后根据特殊角的三角函数值可以求得DH的长度，从而可以求得平行四边形的面积，然后根据三角形的相似可以求得S₁+S₂+S₃的值．

解答 解：作DH⊥AB于点H，如右图所示，
∵AD=2，AB=2$\sqrt{3}$，∠A=60°，
∴DH=AD•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴S_?ABCD=AB•DH=2$\sqrt{3}•\sqrt{3}$=6，
∴S₂+S₃=S_△PBC=3，
又∵E、F分别是PB、PC（靠近点P）的三等分点，
∴$\frac{{S}_{△PEF}}{{S}_{△PBC}}=\frac{1}{9}$，
∴S_△PEF=$\frac{1}{9}$×3=$\frac{1}{3}$，
即S₁=$\frac{1}{3}$，
∴S₁+S₂+S₃=$\frac{1}{3}$+3=$\frac{10}{3}$，
故选A．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答问题．