Question

2．△ABC中，∠ABC=45°，AB≠BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，作∠ADB的角平分线DF交BE于点F，连接AF．求证：∠FAB=∠FBA；
（2）如图2，连接DE，点G与点D关于直线AC对称，连接DG、EG
①依据题意补全图形；
②用等式表示线段AE、BE、DG之间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）欲证明∠FAB=∠FBA，由△ADF≌△BDF推出AF=BF即可解决问题．
（2）①根据条件画出图形即可．
②数量关系是：GD+AE=BE．过点D作DH⊥DE交BE于点H，先证明△ADE≌△BDH，再证明四边形GEHD是平行四边形即可解决问题．

解答 证明：（1）如图1中，

∵AD⊥BC，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AD=BD，
∵DF平分∠ADB，
∴∠1=∠2，
在△ADF和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠1=∠2}\\{DF=DF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BDF．
∴AF=BF，
∴∠FAB=∠FBA．

（2）补全图形如图2中所示，

数量关系是：GD+AE=BE．
理由：过点D作DH⊥DE交BE于点H
∴∠ADE+∠ADH=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BDH+∠ADH=90°，
∴∠ADE=∠BDH，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，∠AKE=∠BKD，
∴∠DAE=∠DBH，
在△ADE和△BDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAE=∠DBH}\\{AD=BD}\\{∠ADE=∠BDH}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BDH．
∴DE=DH，AE=BH，
∵DH⊥DE，
∴∠DEH=∠DHE=45°，
∵BE⊥AC，
∴∠DEC=45°，∵点G与点D关于直线AC对称，
∴AC垂直平分GD，
∴GD∥BE，∠GEC=∠DEC=45°，
∴∠GED=∠EDH=90°，
∴GE∥DH，
∴四边形GEHD是平行四边形
∴GD=EH，
∴GD+AE=BE．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练正确全等三角形判定方法，学会添加常用辅助线，构造全等三角形以及特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．