Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：H为CE的中点；
（3）若BC=10，cosC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得BD=CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；
（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC=∠B，再证明∠DEC=∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH=EH；
（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC=5$\sqrt{5}$，在Rt△CDH中可计算出CH=$\sqrt{5}$，则CE=2CH=2$\sqrt{5}$，
然后计算AC-CE即可得到AE的长．

解答 （1）解：DH与⊙O相切．理由如下：
连结OD、AD，如图，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
而AO=BO，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH为⊙O的切线；
（2）证明：连结DE，如图，
∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∵DH⊥CE，
∴CH=EH，即H为CE的中点；
（3）解：在Rt△ADC中，CD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵cosC=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC=5$\sqrt{5}$，
在Rt△CDH中，∵cosC=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CH=$\sqrt{5}$，
∴CE=2CH=2$\sqrt{5}$，
∴AE=AC-CE=5$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理和等腰三角形的判定与性质；会利用三角函数的定义解直角三角形．