Question

5．已知△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF．
（1）如图1，若∠ACB=90°，探究BF与CD间的数景关系与位置关系；
（2）若∠ACB=60°，探究BF与CD间的数量关系与位置关系；
（3）如图2，若∠ACB=α，求$\frac{BF}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，猜想：BF=CD，BF⊥CD．只要证明△BOF≌△COD即可解决问题；
（2）如图2中，结论：$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．BF⊥CD，只要证明△BOF∽△COD，相似比为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$即可解决问题；
（3）如图3中连接OC、OD，只要证明△BOF∽△COD，相似比为tan $\frac{α}{2}$即可解决问题；

解答 解：（1）猜想：BF=CD，BF⊥CD．理由如下：
如图1中所示，连接OC、OD，延长BF交CD于H，OC交BF于K．

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OB=OC}\\{∠BOF=∠COD}\\{OF=OD}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD，∴∠OBF=∠OCD，
∵∠OBF+∠BKO=90°，∠BKO=∠CKH，
∴∠OCD+∠CKH=90°，
∴∠BHC=90°，
∴BF⊥CD，BF=CD．

（2）结论：$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．BF⊥CD，
如答2中，连接OC、OD，延长BF交CD于H，OC交BF于K

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴$\frac{OB}{OC}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOC=90°．
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴$\frac{OF}{OD}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠DOF=90°．
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠OBF=∠OCD，
∵∠OBF+∠BKO=90°，∠BKO=∠CKH，
∴∠OCD+∠CKH=90°，
∴∠BHC=90°，
∴BF⊥CD，$\frac{BF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（3）如答图④所示，连接OC、OD．

∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，
∴$\frac{OB}{OC}$=tan $\frac{α}{2}$，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，
∴$\frac{OF}{OD}$=tan $\frac{α}{2}$，∠DOF=90°．
∴$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=tan $\frac{α}{2}$．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵$\frac{OB}{OC}$=$\frac{OF}{OD}$=tan $\frac{α}{2}$，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴$\frac{BF}{CD}$=tan $\frac{α}{2}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．