题目内容
6．观察下列等式$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，把以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．（1）猜想并写出：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2008×2009}$=$\frac{2008}{2009}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{n}{n+1}$．
（3）探究并计算：$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}$+…+$\frac{1}{2006×2008}$．
分析 （1）根据已知等式猜想得到拆项规律，写出即可；
（2）原式各项利用得出的拆项规律变形，计算即可得到结果；
（3）原式各项利用得出的拆项规律变形，计算即可得到结果．
解答 解：（1）$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）①$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2008×2009}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2008}$-$\frac{1}{2009}$
=1-$\frac{1}{2009}$
=$\frac{2008}{2009}$；
②$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}）+\frac{1}{2}（{\frac{1}{6}-\frac{1}{8}}）+…+\frac{1}{2}（{\frac{1}{2006}-\frac{1}{2008}}）$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2008}}）$
=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{2008}}）$
=$\frac{1003}{4016}$．
故答案为：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；$\frac{2008}{2009}$；$\frac{n}{n+1}$．
点评 此题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
