题目内容
15．认真阅读材料，然后回答问题：我们学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…
下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数是可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律完成下列问题：
（1）多项式（a+b）7的展开式共有八项，其中第三项的系数为21；
（2）试求出多项式（a+b）9展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，观察规律探索出：多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和S=2n（结果用含字母n的代数式表示）．
分析 （1）根据题意可以解答本题；
（2）根据数学归纳法，写出前几项总结规律，从而可以解答本题；
（3）根据数学归纳法，写出前几项总结规律，从而可以解答本题．
解答 解：（1）由题意可得，
（a+b）7的展开式共有八项，其中第三项的系数为：6+15=21，
故答案为：八，21；
（2）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，
当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，
当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，
当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，
…
∴多项式（a+b）9展开式的各项系数之和=29．
（3）∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，
当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，
当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，
当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，
…
∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n，
故答案为：2n．
点评 本题考查整式的化简求值，数字的变化，解题的关键是明确题意，利用数学归纳法解答本题．
练习册系列答案
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