Question

5．已知△ABC是直径为10的圆内接等腰三角形，若BC=4$\sqrt{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 分等腰三角形的底边BC=4$\sqrt{5}$和腰BC=4$\sqrt{5}$两种情况，而底边BC=4$\sqrt{5}$又分为三角形三顶点在圆心O的同侧和异侧两种情况，根据垂径定理和勾股定理求出三角形的底边和底边上的高即可得．

解答 解：如图1，当等腰三角形的底边BC=4$\sqrt{5}$，
′
根据题意知，OA=OB=OA′=5，BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$，
OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AD=AO+OD=5+$\sqrt{5}$，
∴此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC•AD=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×（5+$\sqrt{5}$）=10$\sqrt{5}$+10；
∵A′D=OA′-OD=5-$\sqrt{5}$，
∴此时S_△A′BC=$\frac{1}{2}$×BC•A′D=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$×（5-$\sqrt{5}$）=10$\sqrt{5}$-10；
如图2，当等腰三角形的腰BC=4$\sqrt{5}$时，

∵AC=BC=4$\sqrt{5}$，OA=OC=5，
∴AD²+OD²=AO²，AD²+CD²=AC²，
即AD²+（CD-5）²=25，AD²+CD²=80，
解得：AD=4，CD=8，
∴AB=2AD=8，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB•CD=$\frac{1}{2}$×8×8=32，
综上，△ABC的面积为10$\sqrt{5}$+10或10$\sqrt{5}$-10或32．

点评 本题主要考查了等腰三角形的性质和垂径定理．要会根据弦心距，弦的一半和半径构造的直角三角形中勾股定理求边长．