Question

4．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，-2），顶点为D，点E的坐标为（0，-1），该抛物线于BE交于另一点F，连接BC
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；
（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），点M在运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？
（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明利由．

Answer 1

分析 （1）设交点式抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2，再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-2}\\{y=\frac{1}{3}x-1}\end{array}\right.$得F（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{6}$）；接着确定H（1，-$\frac{4}{3}$），连接AH交BE于Q，如图1，利用点A和H的横坐标特征得到AH⊥x轴，所以Q（1，-$\frac{2}{3}$），然后利用三角形面积公式，利用S_△FHB=S_△BHQ+S_△FHQ进行计算；
（3）先求出D（2，$\frac{2}{3}$），直线x=2交x轴于N，如图2，证明Rt△OMN∽Rt△MBN得到MN²=BN•ON，即（t+$\frac{2}{3}$）²=1×2，然后解方程即可；
（4）如图3，BP交y轴于G，利用AB平分∠FBP得到点G与点E关于x轴对称，则G（0，1），再利用待定系数法求出直线BQ的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-2}\end{array}\right.$即可得到P点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，-2）代入得a•（-1）•（-3）=-2，解得a=-$\frac{2}{3}$，
所以抛物线解析式为y=-$\frac{2}{3}$（x-1）（x-3），即y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2；

（2）设直线BE的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），E（0，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，
同样方法可求得直线BC的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-2}\\{y=\frac{1}{3}x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=-\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，则F（$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{6}$）；
当x=1时，y=$\frac{2}{3}$-2=-$\frac{4}{3}$，则H（1，-$\frac{4}{3}$），
连接AH交BE于Q，如图1，∵A（1，0），H（1，-$\frac{4}{3}$），
∴AH⊥x轴，
∴Q（1，-$\frac{2}{3}$），
∴HQ=-$\frac{2}{3}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴S_△FHB=S_△BHQ+S_△FHQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×（3-$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{6}$；

（3）当x=2时，y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x-2=$\frac{2}{3}$，则D（2，$\frac{2}{3}$），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
直线x=2交x轴于N，如图2，MN=t+$\frac{2}{3}$，ON=2，BN=1，
∵∠OMB=90°，即∠OMN+∠BMN=90°，
而∠OMN+∠MON=90°，
∴∠MON=∠BMN，
∴Rt△OMN∽Rt△MBN，
∴MN：BN=ON：MN，即MN²=BN•ON，
∴（t+$\frac{2}{3}$）²=1×2，解得t₁=$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$，t₂=-$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$（舍去），
∴当t为$\sqrt{2}$-$\frac{2}{3}$时，∠OMB=90°；

（4）存在．
如图3，BP交y轴于G，
∵AB平分∠FBP，
∴∠GBO=∠EOB，
∴点G与点E关于x轴对称，
∴G（0，1），
设直线BG的解析式为y=px+q，
把G（0，1），B（3，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=1}\\{3p+q=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-\frac{1}{3}}\\{q=1}\end{array}\right.$，
∴直线BQ的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+1}\\{y=-\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{8}{3}x-2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式，把求抛物线与一次函数的交点问题转化为解方程组的问题；理解坐标与图形的性质．