Question

7．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为$\widehat{BE}$的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC．
（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AD=2，AC=$\sqrt{6}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由C为$\widehat{BE}$的中点，得到∠1=∠2，等量代换得到∠2=∠ACO，根据平行线的性质得到OC⊥CD，即可得到结论；
（2）连接CE，由勾股定理得到CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，根据切割线定理得到CD²=AD•DE，根据勾股定理得到CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，由圆周角定理得到∠ACB=90°，即可得到结论．

解答 解：（1）相切，连接OC，
∵C为$\widehat{BE}$的中点，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠ACO，
∴∠2=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥CD，
∴直线CD与⊙O相切；

（2）方法1：连接CE，
∵AD=2，AC=$\sqrt{6}$，
∵∠ADC=90°，
∴CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD²=AD•DE，
∴DE=1，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵C为$\widehat{BE}$的中点，
∴BC=CE=$\sqrt{3}$，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=3．
方法2：∵∠DCA=∠B，
易得△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，
∴AB=3．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的性质，切割线定理，熟练掌握各定理是解题的关键．