Question

5．如图所示，已知△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别在AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，设运动的时间为t （s），解答下列问题：
（1）当t何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t何值时，△PBQ为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的判定得：BP=BQ，列等式可得t的值；
（2）分两种情况：①如图2，当∠BQP=90°时，BP=2BQ，则6-t=2×2t，②如图3，当∠BPQ=90°时，BQ=2BP，则2t=2（6-t），分别求出t的值．

解答 解：（1）由题意得：AP=t，BQ=2t，则BP=6-t，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
当BP=BQ时，△PBQ是等边三角形，如图1，
则6-t=2t，
t=2，
∴当t=2时，△PBQ为等边三角形；
（2）分两种情况：
①如图2，当∠BQP=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ，
则6-t=2×2t，
t=$\frac{6}{5}$，
②如图3，当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴∠BQP=30°，
∴BQ=2BP，
2t=2（6-t），
t=3，
由题意得：0≤t≤3，
∴当t=$\frac{6}{5}$或3时，△PBQ为直角三角形．

点评 本题考查了等边三角形的性质和判定、30°角的直角三角形的性质、动点运动问题，本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定，要注意直角三角形分情况讨论．