Question

4．在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x=1的抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点B的坐标为（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D的坐标为（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A、B坐标，利用待定点C的坐标为（0，3），点D（1，0），
（2）由点C的坐标为（0，3），点D（1，0），可知满足条件的点P的纵坐标为2，解方程-x²+2x+3=2即可得到点P的横坐标，由此即可解决问题．

解答 解：（1）由题意可求点A的坐标为（3，0）．
将点A（3，0）和点B（-1，0）代入y=-x²+bx+c，
得 $\left\{\begin{array}{l}0=-9+3b+c\\ 0=-1-b+c.\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=3.\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式y=-x²+2x+3．       

（2）如图，

∵点C的坐标为（0，3），点D（1，0），
∴满足条件的点P的纵坐标为2．
∴-x²+2x+3=2．
解得 ${x_1}=1+\sqrt{2}，{x_2}=1-\sqrt{2}$．
∴点P的坐标为$（1+\sqrt{2}，2）$或$（1-\sqrt{2}，2）$．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．