Question

若二次函数y=-

1

2

x²+bx+c的图象与x轴相交于A（-5，0），B（-1，0）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）如果要通过适当的平移，使得这个函数的图象与x轴只有一个交点，那么应该怎样平移？向右还是向左？或者是向上还是向下？应该平移多少个单位？

Answer 1

分析：（1）由题意二次函数y=-

1

2

x²+bx+c的图象与x轴相交于A（-5，0），B（-1，0），把点代入二次函数的解析式，根据待定系数法求出函数的解析式．
（2）把（1）求得的解析式化为顶点式，再根据平移的性质解答．

解答：解：（1）∵y=-

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2

x²+bx+c，把A（-5，0），B（-1，0）代入上式，得
∴

(- 1 2 )×(-5)2+b×(-5)+c=0 (- 1 2 )×(-1)2+b×(-1)+c=0

，
解得：

b=-3 c=- 5 2

，
∴这个二次函数的关系式为：y=-

1

2

x2-3x-

5

2

；
（2）∵二次函数的关系式为：y=-

1

2

x2-3x-

5

2

=-

1

2

(x+3)2+2，
∴顶点坐标为（-3，2），
∴欲使函数的图象与x轴只有一个交点，应向下平移2个单位．

点评：此题考查二次函数平移的基本性质及函数的顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式，将二次函数化为顶点式再进行平移，同时也考查了学生的计算能力．