Question

如图，已知二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=

3

x

上，且与x轴交于AB两点．
（1）若二次函数的对称轴为x=-

1

2

，试求a，c的值；
（2）在（1）的条件下求AB的长；
（3）若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，试求二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴x=-

b

2a

=-

1

2

，求得二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）中的a，再根据顶点在反比例函数y=

3

x

上，求出c即可；
（2）求得抛物线与x轴的交点坐标，再用点B的横坐标减去点A的横坐标即可．
（3）可用含有a的式子表示点M、N的坐标，即求出a的值，再求得解析式．

解答：解：（1）∵二次函数的对称轴为x=-

1

2

，
∴-

2

2a

=-

1

2

，
解得a=2，
∵二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=

3

x

上，
∴顶点为（-

1

2

，c-

1

2

），
∴

1

2

（c-

1

2

）=-3，
解得c=-

11

2

，
∴二次函数的解析式为y=2x²+2x-

11

2

；

（2）∵二次函数的解析式为y=2x²+2x-

11

2

；
∴令y=0，2x²+2x-

11

2

=0；
解得x=

-1±2 3

2

．
∴AB=

-1+2 3

2

-

-1- 2 3

2

=2

3

；

（3）根据对称轴x=-

1

a

，当x=-

1

a

时，y=-3a，
∴NO+MN=

1

a

+3a≥2

3a• 1 a

=2

3

，当3a=

1

a

时NO+MN最小，
 即3a²=1时，a=

3

3

，
∴c=0，
∴此时二次函数的解析式为y=

3

3

x²+2x．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有最值问题和两点之间的距离等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合等数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．