Question

1．如图，△ABC是一块直角三角形余料，∠C=90°，AC=6，BC=8，现在要把它加工成一个正方形零件，试说明下面哪种加工方法利用率高？

Answer 1

分析 方法一：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则CD=DE=x，AD=AC-CD=6-x，先证明△ADE∽△ACB，于是可利用相似比求得x=$\frac{24}{7}$；
方法二：当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CM⊥AB于M，交CD于N，先利用勾股定理计算出AB=10，再利用面积法计算出CM=$\frac{24}{5}$，设正方形DEFG边长为x，则DG=MNx，CN=$\frac{24}{5}$-x，接着证明△CDG∽△CAB，则可利用相似比计算出x=$\frac{120}{37}$，然后比较两个正方形的边长的大小来判断利用率高低．

解答 解：方法一：当所截的正方形的边在△ABC的直角边上，如图1，设正方形CDEF边长为x，则CD=DE=x，AD=AC-CD=6-x，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{DE}{BC}$，即$\frac{6-x}{6}$=$\frac{x}{8}$，即得x=$\frac{24}{7}$，
即正方形CDEF边长为$\frac{24}{7}$；
方法二：当所截的正方形的边在△ABC的斜边上，如图2，作CM⊥AB于M，交CD于N，
AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$CM•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴CM=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
设正方形DEFG边长为x，则DG=MNx，CN=$\frac{24}{5}$-x，
∵DG∥AB，
∴△CDG∽△CAB，
∴$\frac{DG}{AB}$=$\frac{CN}{CM}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{\frac{24}{5}-x}{\frac{24}{5}}$，解得x=$\frac{120}{37}$，
∵$\frac{24}{7}$=$\frac{120}{35}$＞$\frac{120}{37}$，
∴采用方法一利用率高．

点评 本题考查了相似三角形的应用：先证明三角形相似，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求线段的长．也考查了正方形的性质．