Question

12．如图，AH是⊙O的直径，矩形ABCD交⊙O于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B落在CD边上的点F处，画直线EF．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线．
（2）若CD=10，EB=5，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由折叠的性质结合条件可证得OE∥AF，再由条件可得AF⊥EF，则可证得结论；
（2）可设OA=OE=x，则OB=10-x，在Rt△OBE中，可求得x的值，进一步可求得⊙O的直径．

解答 （1）证明：
如图，连接OE，

∵OA=OE，
∴∠EAO=∠AEO，
由折叠可得∠EAO=∠FAE，
∴∠FAE=∠AEO，
∴AF∥OE，
∴∠AFE+∠OEF=180°，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
由折叠可知∠AFE=∠ABC=90°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，且点E在圆上，OE为半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：
∵四边形ABCD是矩形，CD=10，
∴AB=CD=10，∠ABE=90°，
设OA=OE=x，则OB=10-x，
在Rt△OBE中，∠OBE=90°，EB=5，
由勾股定理可得OB²+BE²=OE²，
∴（10-x）²+5²=x²，解得x=$\frac{25}{4}$，
∴AH=2x=$\frac{25}{2}$，
∴⊙O的直径为$\frac{25}{2}$．

点评 本题主要考查切线的判定和性质及折叠的性质，掌握切线的两种证明方法是解题的关键，在折叠中求有关线段长度时注意方程思想的应用．