Question

4．如图，D，E分别在等边三角形ABC中边CB和边BC的延长线上．
（1）已知BC²=BD•CE，求∠DAE的度数；
（2）以第（1）题所得的结论为条件，请证明BC²=DB•CE．

Answer 1

分析 （1）由△ABC是等边三角形，易得∠ABD=∠ECA，又由BC²=BD•CE，可证得△ABD∽△ECA，然后由相似三角形的对应角相等，求得∠D=∠EAC，继而求得答案；
（2）由∠DAE=120°，△ABC是等边三角形，易证得△ABD∽△ECA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论．

解答 （1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∵BC²=BD•CE，
∴BC：CE=BD：BC，
即AB：CE=BD：AC，
∴△ABD∽△ECA，
∴∠D=∠CAE，
∴∠DAB+∠CAE=∠DAB+∠D=60°，
∴∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=120°；

（2）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠ABD=∠ACE=120°，
∴∠D+∠BAD=60°，
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠CAE=60°，
∴∠D=∠CAE，
∴△ABD∽△ECA，
∴AB：CE=BD：AC，
∴BC：CE=BD：BC，
即BC²=DB•CE．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．注意证得△ABD∽△ECA是解此题的关键．