Question

10．如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA恰好与⊙O相切于点A（△EFA与⊙O除切点外无重叠部分），延长FA交CD边于点G，则AG的长是$\frac{\sqrt{865}}{3}$．

Answer 1

分析 作FS⊥CD于点S，根据折叠得出FA=FA′，根据矩形的性质得出AF=SD，AD=FS；设AF=x，则A′F=DS=CG=x，GS=8-2x，FO=FA′+OA′=2+x，FG=2（2+x）；根据勾股定理得出方程[2（2+x）]²=（8-2x）²+8²，求出x，再根据勾股定理求出即可．

解答 解：如图，作FS⊥CD于点S，则AF=CG，

∵△AFE≌△A′FE，
∴FA=FA′，
∵四边形ADSF是矩形，
∴AF=SD，AD=FS；
设AF=x，则A′F=DS=CG=x，GS=8-2x，FO=FA′+OA′=2+x，FG=2（2+x）；
∵FG²=GS²+FS²，
∴[2（2+x）]²=（8-2x）²+8²，
解得x=$\frac{7}{3}$，
∴AF=CG=$\frac{7}{3}$，
DG=8-$\frac{7}{3}$=$\frac{17}{3}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{A{D}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+（\frac{17}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{865}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{865}}{3}$．

点评 本题考查了正方形是中心对称图形，正方形的性质，勾股定理，折叠的性质的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．