Question

如图，四边形ABCD中，AB=2，∠DAB=∠ABC=90°，点E从A点出发，在AB上以每秒1个单位的速度向点B运动，运动时间为t秒．过点D作DP⊥CE于点P．

（1）如图1，若AD=BC，证明：△DCP∽△CEB；
（2）在（1）的条件下，若CP•CE=4AE²，求t的值；
（3）四边形ABCD为正方形，当点E是AB中点时；
①如图2，连接AP并延长交BC于点G，求的值；
②如图3，过点B作BP⊥CE于点P，交AD于点F，请你直接写出

S△CPG

S△APF

的值为

 

．

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）先求得AD∥BC，再根据AD=BC求得四边形ABCD是平行四边形，然后根据三角形相似的判定即可得出△DCP∽△CEB；
（2）由三角形相似对应边成比例求得CP•CE=CD•EB，根据已知得出CD•EB=4AE²，进而得出2（2-t）=4t²，解这个方程即可求得t的值．
（3）①根据三角形相似即可求得PC的值；
②设△PEB的面积为a，则根据题意△APE的面积=a，△APF的面积=3a，△CPG的面积=

8

3

a，即可求得．

解答：解：（1）∵∠DAB=∠ABC=90°，
∴AD∥BC，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DCP=∠CEB，
又∵∠DPC=∠EBC=90°，
∴△DCP∽△CEB；

（2）∵△DCP∽△CEB，
∴CP：EB=CD：CE，
∵CP•CE=CD•EB，
∵CP•CE=4AE²，
∴CD•EB=4AE²，
∵CD=AB=2，AE=t，BE=2-t，
∴2（2-t）=4t²，
解得：t=

-1+ 17

4

，t=

-1- 17

4

（舍去），
∴若CP•CE=4AE²，t的值为

-1+ 17

4

．

（3）①如图2，∵四边形ABCD为正方形，
∴DC=BC=AB=2，
∵点E是AB中点，
∴EB=1，
∴CE=

EB2+CB2

=

5

，
∵AB∥CD，
∴∠DCP=∠CEB，
又：∵∠DPC=∠EBC=90°，
∴△DCP∽△CEB；
∴

PC

EB

=

CD

EC

，
∴PC=

2

5

×1=

2 5

5

．

②如图3，∵∠ABF+∠FBC=90°，∠ECB+∠FBC=90°，
∴∠ABF=∠ECB，
在△ABF与△ECB中，

∠ABF=∠ECB ∠BAF=∠CBE=90° AB=BC

，
∴△ABF≌△ECB（AAS），
∴S_△ABF=S_△ECB，
∵△EPB∽△EBC，EB=1，EC=

5

，
∴S_△EPB：S_△EBC=1：5，
设S_△EPB=a，则S_△EBC=5a，
∵E是AB中点，
∴S_△APE=S_△EPB=a，
∵EP：PB=EB：BC=1：2，EB=1，
∴PB=

2 5

5

，
∵BF=

5

，
∴FP=

3 5

5

，
∴PB：PF=2：3，
∵AD∥BC，
∴S_△PBG：S_△PFA=4：9，
∵S_△PFA=3a，
∵S_△PBG=

4

9

×3a=

4

3

a，
∴S_△CPG=5a-a-

4

3

a=

8

3

a，
∴

S△CPG

S△APF

=

8 3 a

3a

=

8

9

．

点评：本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质以及三角形面积的比等腰相似比的平方等；点评：本题考查了正方形的性质，平行线的判定及性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中，熟练掌握正方形的性质是解题的关键，三角形相似对应边成比例是本题的难点．