题目内容
3．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，∠EDF=90°，且∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时（图1），求证：${S_{△DEF}}+{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$．
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE与AC不垂直．
①当两边与AC、BC相交时，（如图2），上述结论是否还会成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
②当两边与AC、BC的延长线相交时，（如图3），上述结论是否还会成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明S△DEF、S△CEF、S△ABC之间的关系．（不需证明，直接回答即可）
分析 （1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；
（2）成立；先证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；
（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF=S五边形DBFEC=S△CFE+S△DBC=S△CFE+$\frac{1}{2}$S△ABC．
解答 解：（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形；设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为$\frac{1}{2}$a
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}{a^2}$，正方形CEDF的面积${S_{CEDF}}={（\frac{1}{2}a）^2}=\frac{1}{4}{a^2}$
即${S_{△DEF}}+{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$；
（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2
所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠DCE=∠B}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=$\frac{1}{2}$S△ABC；
（3）不成立；${S_{△DEF}}-{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$；理由如下：连接CD，如图3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S△DEF=S五边形DBFEC，
=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+$\frac{1}{2}$S△ABC，
∴S△DEF-S△CFE=$\frac{1}{2}$S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF-S△CEF=$\frac{1}{2}$S△ABC．
点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．
如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为35米，与墙平行的边留有1米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为160平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（ ）| A． | 7.5米 | B． | 8米 | C． | 10米 | D． | 10米或8米 |
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边BC的中点，AB=4，则OE的长为（ ）| A． | $\sqrt{2}$ | B． | 1 | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 2 |
如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．
已知∠1=∠2，AC=BD，E，F，A，B在同一直线上，问∠3=∠4吗？