Question

20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$与y=x相交于点A，与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$与y=x联立得出方程组求解即可得出点A的坐标，由直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$与x轴交于点B，令y=0，求出x的值，即可得出B的坐标，
（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．分三种情况①过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，②过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，③过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C分别求解即可，
（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，分四种情况①当OB=OD时，②当OD=OB时，③当OB=DB时，④如图7，当DO=DB时分别求解即可．

解答 解：（1）∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$与y=x相交于点A，
∴联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴点A（1，1），
∵直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$与x轴交于点B，
∴令y=0，得-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$=0，解得x=3，
∴B（3，0），
（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．
①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，

∵AC∥x轴，OC∥AB，
∴四边形CABO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC=OB=3，
∴C（-2，1），
②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，

∵AC∥x轴，BC∥AO，
∴四边形CAOB是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AC=OB=3，
∴C（4，1），
③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，

∵OC∥AB，BC∥AO，
∴四边形CBAO是平行四边形，
∵A（1，1），B（3，0），
∴AO=BC，OC=AB，
作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE=EF=FB=1，
∴C（2，-1），
（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，
①如图4，当OB=OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E

∵OB=3，点D在OA上，∠DOE=45°
∴DE=OE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴D（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
②如图5，当OD=OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E

∵OB=3，点D在OA上，∠DOE=45°
∴DE=OE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），
③如图6，当OB=DB时，

∵∠AOB=∠ODB=45°，
∴DB⊥OB，
∵OB=3，
∴D（3，3），
④如图7，当DO=DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E

∵∠AOB=∠OBD=45°，
∴OD⊥DB，
∵OB=3，
∴OE=$\frac{3}{2}$，AE=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
综上所述，在直线OA上，存在点D（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），D（3，3）或D（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$），使得△DOB是等腰三角形，

点评 本题主要考查了一次函数的综合题，涉及一次函数的性质，等腰三角形的性质及平行四边形的判定，性质，解题的关键是能正确分不同种情况作图，解析，一定不要漏解．