Question

如图，直线L：y=-x+3与两坐标轴分别相交于点A、B．
（1）当反比例函数y=

m

x

（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点时，求m的取值范围．
（2）若反比例函数y=

m

x

（m＞0，x＞0）在第一象限内与直线L相交于点C、D，当CD=2

2

时，求m的值．
（3）在（2）的条件下，请你直接写出关于x的不等式-x+3＜

m

x

的解集．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题,根的判别式,根与系数的关系

专题：代数综合题,数形结合

分析：（1）根据方程至少有一个交点，得判别式大于或等于0，可得答案；
（2）根据韦达定理，可得方程两根的关系，根据两点间距离公式，可得答案；
（3）根据反比例函数图象在上方的区域，可得不等式的解集．

解答：解：（1）当反比例函数y=

m

x

（m＞0，x＞0）的图象在第一象限内与直线L至少有一个交点，得
-x+3=

m

x

，整理得：x²-3x+m=0，
△=（-3）²-4m≥0，
解得m≤

9

4

．
∴m的取值范围为：0＜m≤

9

4

．

（2）∵x²-3x+m=0，
设该方程的两根是x₁、x₂．
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=m，
∵CD=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=2

2

，
∴

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

，
即 2（9-4m）=8，
解得 m=

5

4

；

（3）当m=

5

4

时，x²-3x+m=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

5

2

，
由反比例函数图象在直线上方的区域得0＜x＜

1

2

或x＞

5

2

．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了韦达定理，两点间的距离公式，一次函数与不等式的关系．